函数的定义域要求 $\sin \pi x\ne 0$，因此被排除的点是所有整数 $x=n$。若整数点是可去间断点，则分子也必须在该点为零。由于 $x-x^3=x(1-x)(1+x)$，其整数零点只有 $n=-1,0,1$。

在这三个点，分子分母均为一阶零点，分别用等价无穷小可得：

三个极限都存在且为有限值，所以 $-1,0,1$ 都是可去间断点；其他整数点分子不为零，不能成为可去间断点。因此可去间断点共有 $3$ 个，选择 $\mathrm{C}$。