（1）将题设关系移项为 ${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$。由矩阵按列相乘的定义，$\xi =(1,-2,1{)}^T$ 满足 $A\xi =0$，且 $\xi \ne 0$。
（2）${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，而 ${\alpha }_3$ 可由它们表示，因此 $r(A)=2$。齐次方程组的解空间维数为 $3-r(A)=1$，已找到的非零解 $\xi$ 就构成基础解系。
所以通解为

代入得 $Ax=k[{\alpha }_1-2{\alpha }_2+(-{\alpha }_1+2{\alpha }_2)]=0$。注意必须先将列向量关系整理为零再读取系数，且通解要保留任意常数。