2013 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设

a_{0} = 3, a_{1} = 1, a_{n - 2} - n (n - 1) a_{n} = 0 (n \geq 2)

，

S (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

。

(1) 证明 $S^{''} (x) - S (x) = 0$ ；
(2) 求 $S (x)$ 。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$S (x) = 2 e^{x} + e^{- x}$ ， $x \in R$ 。

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第 1 问

先确定收敛半径，才能逐项求导。递推式给出 $a_{n} = \frac{a _{n - 2}}{[ n ( n - 1 )]}$ ，且由初值可知所有 $a_{n} > 0$ 。对任意固定非零 $x$ ，奇偶两支的相邻项比为

\frac{a _{2 k + 2} x ^{2 k + 2}}{a _{2 k} x ^{2 k}} \frac{a _{2 k + 3} x ^{2 k + 3}}{a _{2 k + 1} x ^{2 k + 1}} = \frac{x ^{2}}{( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 )} ⟶ 0, = \frac{x ^{2}}{( 2 k + 3 ) ( 2 k + 2 )} ⟶ 0.

两支对所有 $x$ 绝对收敛， $x = 0$ 也显然收敛，故原幂级数半径为 $+ \infty$ 。可在整个实轴逐项求导两次，再使用递推并换指标：

S^{''} (x) = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} = n = 2 \sum \infty a_{n - 2} x^{n - 2} = m = 0 \sum \infty a_{m} x^{m} = S (x) .

所以 $S^{''} (x) - S (x) = 0$ 对一切实数 $x$ 成立。

第 2 问

由（1）的微分方程，特征方程为 $r^{2} - 1 = 0$ ，故 $S (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ 。从幂级数的常数项和一次项得到 $S (0) = a_{0} = 3$ 、 $S^{'} (0) = a_{1} = 1$ ，即

C_{1} + C_{2} = 3, C_{1} - C_{2} = 1.

解得 $C_{1} = 2, C_{2} = 1$ ，所以 $S (x) = 2 e^{x} + e^{- x}$ ， $x \in R$ 。
也可直接由递推得到 $a_{2 k} = \frac{3}{( 2 k )!}$ 、 $a_{2 k + 1} = \frac{1}{( 2 k + 1 )!}$ ，即 $a_{n} = \frac{[ 2 + ( - 1 ) ^{n} ]}{n !}$ ，代入指数函数展开同样得到 $2 e^{x} + e^{- x}$ 。