分别在 $0$ 点对 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 使用带拉格朗日余项的二阶泰勒公式。存在 ${\xi }_1\in (0,1)$、${\xi }_2\in (-1,0)$，使

两式相减，并利用 $f(1)-f(-1)=1$、$f^{\prime }(0)=0$，得到

因此数 $3$ 位于 $f^{\prime \prime \prime }({\xi }_1)$ 与 $f^{\prime \prime \prime }({\xi }_2)$ 之间（若其中之一等于 $3$，结论已成立）。由于 $f^{\prime \prime \prime }$ 连续，介值定理保证在 $({\xi }_2,{\xi }_1)\subset (-1,1)$ 内存在 $\xi$，使 $f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$。