第一部分积分区域为 $D_1=\left\{(x,y):\frac{1}{4}\le y\le \frac{1}{2},\frac{1}{2}\le x\le \sqrt{y}\right\}$，第二部分积分区域为 $D_2=\left\{(x,y):\frac{1}{2}\le y\le 1,y\le x\le \sqrt{y}\right\}$。

按 $x$ 划分时，两块区域恰好合并为 $D_1\cup D_2=\left\{(x,y):\frac{1}{2}\le x\le 1,x^2\le y\le x\right\}$。因此原式等于

$${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^x{e}^{\frac{y}{x}}\mathrm{d}y$$

。

先对 $y$ 积分，得

$${\int }_{x^2}^x{e}^{\frac{y}{x}}\mathrm{d}y=x{\left[e^{\frac{y}{x}}\right]}_{x^2}^x=x(e-e^x)$$

。于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}x(e-e^x)\mathrm{d}x& =\frac{3e}{8}-{\left[(x-1)e^x\right]}_{\frac{1}{2}}^1\\ & =\frac{3e}{8}-\frac{\sqrt{e}}{2}.\end{array}$$