（1）求幂级数系数。先写成 $\ln (2+x)=\ln 2+\ln (1+\frac{x}{2})$。利用 $\ln (1+t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{t}^n$，在 $-2<x\le 2$ 时得

由幂级数展开的唯一性，$a_0=\ln 2$，$a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n{2}^n}$（$n\ge 1$）。因此偶数下标对应的系数为 $a_{2n}=-\frac{1}{2n{4}^n}$（$n\ge 1$），符号恒为负。

（2）求和。原和式的 $n=0$ 项为 $0a_0=0$。对 $n\ge 1$，有 $n{a}_{2n}=-\frac{1}{2\cdot 4^n}$，故所求为公比 $\frac{1}{4}$ 的收敛等比级数：

故选 A。分母中的因子 $2$ 来自下标 $2n$，不能漏掉；$(-1{)}^{2n-1}=-1$，不能因下标为偶数而误取正号。