因为 $\alpha$ 是单位列向量，${\alpha }^T\alpha =1$ 且 $\alpha \ne 0$，所以

矩阵 $E-\alpha {\alpha }^T$ 有非零零空间，故不可逆，选 A。

记 $B=\alpha {\alpha }^T$。有 $B\alpha =\alpha$；对任意与 $\alpha$ 正交的向量 $v$，$Bv=\alpha ({\alpha }^{T}v)=0$。因此 $B$ 在 $\alpha$ 方向的特征值为 $1$，在其正交补上的特征值为 $0$，后者维数为 $n-1$。
故 $E+kB$ 的特征值是 $1+k$ 及 $n-1$ 个 $1$，行列式为 $1+k$。A、B、C、D 对应的行列式依次为 $0,2,3,-1$，只有 A 不可逆。当 $n=1$ 时没有正交补方向，上述行列式公式仍成立。