若 $a=0$，则由 $f(0)=0$ 立即有 $f(a+b)=f(a)+f(b)$。以下设 $a>0$。

分别在区间 $[0,a]$ 与 $[b,a+b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_1\in (0,a)$、${\xi }_2\in (b,a+b)$，使得

因 $0<{\xi }_1<a\le b<{\xi }_2<c$，且 $f^{\prime }$ 单调减少，所以 $f^{\prime }({\xi }_1)\ge f^{\prime }({\xi }_2)$。乘以 $a>0$，并利用 $f(0)=0$，得到

即 $f(a+b)\le f(a)+f(b)$。