在 $0<t<2\pi$ 上 $x^{\prime }(t)=1-\cos t>0$，因此 $x=t-\sin t$ 在 $[0,2\pi ]$ 上严格递增，摆线一拱可表示为单值函数 $y=h(x)$。其端点为 $(0,0),(2\pi ,0)$，最高点为 $(\pi ,2)$，区域为 $0\le x\le 2\pi$，$0\le y\le h(x)$。
先对 $y$ 积分，再令 $x=t-\sin t$，$h(x)=1-\cos t$，$\mathrm{d}x=(1-\cos t)\mathrm{d}t$，有

含正弦的项由原函数直接算得 ${\int }_0^{2\pi }\sin t(1-\cos t{)}^2\mathrm{d}t=[\frac{(1-\cos t{)}^3}{3}{]}_0^{2\pi }=0$。又有 $(1-\cos t{)}^2=\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{(\cos 2t)}{2}$，并且分部积分给出

因此 $I_1=(\frac{3}{2}){\int }_0^{2\pi }t\mathrm{d}t=3{\pi }^2$。再展开 $(1-\cos t{)}^3=1-3\cos t+3{\cos }^{2}t-{\cos }^{3}t$，利用整周期上 $\cos t,{\cos }^{3}t$ 积分为零，且 ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=\pi$，得 $I_2=2\pi +3\pi =5\pi$。
故 $I=3{\pi }^2+5\pi$。参数代换时必须保留 $\mathrm{d}x=(1-\cos t)\mathrm{d}t$；带 $t$ 的三角项需分部计算，不能仅以整周期为由判零。