2012 · 数学二 · 第 21 题 · 解答题

证明方程

x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x = 1 (n > 1)

在

(\frac{1}{2}, 1)

内有且仅有一个实根，记为

x_{n}

。

(1) 完成上述存在唯一性的证明；
(2) 证明 $n \to \infty lim x_{n}$ 存在，并求该极限。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

极限存在且为 $\frac{1}{2}$ 。

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第 1 问

对整数 $n \geq 2$ ，令 $F_{n} (x) = x + x^{2} + \dots + x^{n} - 1$ 。它在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上连续，且

F_{n} (\frac{1}{2}) = k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k}} - 1 = - \frac{1}{2 ^{n}} < 0, F_{n} (1) = n - 1 > 0.

由零点定理，在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内至少有一个零点。又在此区间内 $F_{n}^{'} (x) = 1 + 2 x + \dots + n x^{n - 1} > 0$ ，故 $F_{n}$ 严格递增，至多有一个零点。综上，方程在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根，记为 $x_{n}$ 。

第 2 问

由（1）， $F_{n} (x_{n}) = 0$ 且 $\frac{1}{2} < x_{n} < 1$ 。注意 $F_{n + 1} (x) = F_{n} (x) + x^{n + 1}$ ，因此 $F_{n + 1} (x_{n}) = x_{n}^{n + 1} > 0$ ，而 $F_{n + 1} (x_{n + 1}) = 0$ 。由 $F_{n + 1}$ 严格递增，得 $x_{n + 1} < x_{n}$ 。
数列严格递减且以下界 $\frac{1}{2}$ 为界，故由单调有界准则可知极限存在。记极限为 $A \geq \frac{1}{2}$ 。
由于 $x_{n} \neq = 1$ ，对根的定义式应用等比求和公式：

\frac{x _{n} ( 1 - x _{n}^{n} )}{1 - x _{n}} = 1 ⟹ 2 x_{n} - 1 = x_{n}^{n + 1} .

由递减性， $0 < x_{n} \leq x_{2} < 1$ 。令固定常数 $q = x_{2}$ ，则 $0 < x_{n}^{n + 1} \leq q^{n + 1} \to 0$ ，从而对上式取极限得 $2 A - 1 = 0$ ，即 $A = \frac{1}{2}$ 。
这里固定的上界 $q < 1$ 是幂趋于零的依据，不能只由逐项 $x_{n} < 1$ 就断言 $x_{n}^{n + 1} \to 0$ 。因此 $n \to \infty lim x_{n} = \frac{1}{2}$ 。