令 $t=x-1$，则 $2x-x^2=1-t^2$，且积分区间变为 $[-1,0]$。

因此

$${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x={\int }_{-1}^0\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{4}.$$

该积分等于单位圆上半圆左半部分的面积。