依题设在 $(a,b)$ 内存在相等的最大值，记共同最大值为 $M$，并取 $c,d\in (a,b)$，使 $f(c)=M$、$g(d)=M$。令 $h=f-g$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 上连续，且

若上述任一不等式取等号，对应内点即为所求 $\eta$。否则 $h(c)>0$、$h(d)<0$，此时 $c\ne d$，由介值定理，在 $c,d$ 之间存在 $\eta \in (a,b)$ 使 $h(\eta )=0$。因此必有 $f(\eta )=g(\eta )$。

仍令 $h=f-g$。由端点条件和上一问，$h(a)=h(\eta )=h(b)=0$。分别在 $[a,\eta ]$ 与 $[\eta ,b]$ 上对 $h$ 应用罗尔定理，可得 $u\in (a,\eta )$、$v\in (\eta ,b)$，使 $h^{\prime }(u)=h^{\prime }(v)=0$。

由于 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导，$h^{\prime }$ 在 $[u,v]$ 上连续、在 $(u,v)$ 内可导。再次应用罗尔定理，存在 $\xi \in (u,v)\subset (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。