2016 · 数学三 · 第 3 题 · 选择题

设

J_{i} = \iint_{D_{i}} 3 x - y d x d y (i = 1, 2, 3)

，其中

D_{1} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

，

D_{2} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}

，

D_{3} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq 1}

，则（　　）。

A
$J_{1} < J_{2} < J_{3}$
B
$J_{3} < J_{1} < J_{2}$
正确答案
C
$J_{2} < J_{3} < J_{1}$
D
$J_{2} < J_{1} < J_{3}$

答案

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记 $f (x, y) = 3 x - y$ ，这里是实立方根，故其符号与 $x - y$ 相同，且 $f (y, x) = - f (x, y)$ 。
（1） $D_{1} = [0, 1]^{2}$ 关于 $y = x$ 对称，交换积分变量得 $J_{1} = - J_{1}$ ，所以 $J_{1} = 0$ 。
（2） $D_{1} ∖ D_{2}$ 为 $0 \leq x \leq 1$ 、 $x < y \leq 1$ 的部分。在其内部有 $x \leq x < y$ ，故 $f (x, y) < 0$ 。此区域有正面积，因此其上积分严格为负，由区域可加性得

J_{2} = J_{1} - \iint_{D_{1} ∖ D_{2}} f (x, y) d x d y > 0.

（3） $D_{1} ∖ D_{3}$ 为 $0 \leq x \leq 1$ 、 $0 \leq y < x^{2}$ 的部分。在其内部有 $y < x^{2} \leq x$ ，故 $f (x, y) > 0$ ，且该区域有正面积，因而

J_{3} = J_{1} - \iint_{D_{1} ∖ D_{3}} f (x, y) d x d y < 0.

综上 $J_{3} < 0 = J_{1} < J_{2}$ ，选 B。