令 $u=x+y$、$v=\frac{y}{x}$。要求 $(u,v)=(1,1)$ 处的偏导，对应 $x+y=1$、$y=x$，所以 $x=y=\frac{1}{2}$。
在该点附近 $v\ne -1$，可反解 $x=\frac{u}{(1+v)}$、$y=\frac{uv}{(1+v)}$，因此

这个局部显式表达式也保证了所需可微性。求偏导得 $f_u=\frac{2u(1-v)}{(1+v)}$、$f_v=-\frac{2u^2}{(1+v{)}^2}$。代入 $(u,v)=(1,1)$，得到 $f_u(1,1)=0$、$f_v(1,1)=-\frac{1}{2}$，故选 D。

在 $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 附近，换元 $(u,v)=(x+y,\frac{y}{x})$ 有可微逆变换 $x=\frac{u}{(1+v)}$、$y=\frac{uv}{(1+v)}$，故由已知恒等式可知 $f$ 在 $(1,1)$ 附近可微。
分别对恒等式 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$ 关于 $x,y$ 求偏导，得

代入 $x=y=\frac{1}{2}$，此时 $f_u,f_v$ 在 $(1,1)$ 处取值，方程组变为 $f_u-2f_v=1$、$f_u+2f_v=-1$。相加得 $f_u=0$，相减得 $f_v=-\frac{1}{2}$。系数行列式为 $4\ne 0$，解唯一，故其余三组选项均不成立，选 D。