$A$ 的特征值为 $1,2,2$，且 $A$ 可逆，所以 $A^{-1}$ 的特征值为 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$。

因此 $4A^{-1}-E$ 的特征值为 $3,1,1$，其行列式为 $3\cdot 1\cdot 1=3$。