1994 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

曲线与 $x$ 轴围成的区域为 $- 2 \leq x \leq 2$ 、 $0 \leq y \leq 3 - ∣ x^{2} - 1∣$ 。它完全位于旋转轴 $y = 3$ 下方。

固定 $x$ 的垫片外半径为 $3$ ，内半径为

3 - [3 - ∣ x^{2} - 1∣] = ∣ x^{2} - 1∣.

故截面积为

A (x) = π [9 - (x^{2} - 1)^{2}] = π (8 + 2 x^{2} - x^{4}) .

利用偶对称性，体积为

V = 2 π \int_{0}^{2} (8 + 2 x^{2} - x^{4}) d x = 2 π (16 + \frac{16}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{448 π}{15} .

答案