1991 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

记

D = x f^{'} (z) + y g^{'} (z),

由题设 $D \neq = 0$ 。对等式 $x y = x f (z) + y g (z)$ 关于 $x$ 求偏导，得到

y = f (z) + D \frac{\partial z}{\partial x},

即

D \frac{\partial z}{\partial x} = y - f (z) .

关于 $y$ 求偏导，得到

x = g (z) + D \frac{\partial z}{\partial y},

即

D \frac{\partial z}{\partial y} = x - g (z) .

因此

[x - g (z)] \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{[ x - g ( z )] [ y - f ( z )]}{D} = [y - f (z)] \frac{\partial z}{\partial y},

命题得证。

答案