（1）令 $t=\frac{1}{x}$，则无穷远处对应 $t\to 0$，原式化为 $\frac{[2-\frac{\sin t}{t}-\cos t]}{t^2}$。
（2）为得到 $\frac{\sin t}{t}$ 的二阶项，正弦要展开到三阶：$\sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)$，故 $\frac{\sin t}{t}=1-\frac{t^2}{6}+o(t^2)$。同时 $\cos t=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$。
（3）相减后，常数项抵消，而二阶项同号相加：

$$2-\frac{\sin t}{t}-\cos t=\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)t^2+o(t^2)=\frac{2}{3}{t}^2+o(t^2).$$

除以 $t^2$ 得极限 $\frac{2}{3}$。这里的展开是双侧的，因此无论从正无穷还是负无穷趋近，结果相同。