$A^2=0$

唯一特征值为$0$，其全部特征向量为$x\ne 0,{\beta }^{T}x=0$

由实向量的内积对称性，${\beta }^T\alpha ={\alpha }^T\beta =0$。

于是 $A^2=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T=\alpha ({\beta }^T\alpha ){\beta }^T=0$。

由第一问知， $A^2=0$，任一特征值 $\lambda$ 都满足 ${\lambda }^2=0$，故唯一特征值为 $0$，代数重数为 $n$。

对非零向量 $x$，$Ax=\alpha ({\beta }^{T}x)=0$。由于 $\alpha \ne 0$，这等价于 ${\beta }^{T}x=0$。

因此特征值 $0$ 的全部特征向量为超平面 $\ker ({\beta }^T)$ 中的非零向量，其特征子空间维数为 $n-1$；不存在其他特征值的特征向量。