由微积分基本定理与链式法则，$f^{\prime }(x)=2x\ln (2+x^2)$。

因为 $x^2\ge 0$，所以 $2+x^2\ge 2>1$，从而 $\ln (2+x^2)>0$。因此 $f^{\prime }(x)=0$ 当且仅当 $x=0$，零点个数为 $1$，对应选项 B。