2020 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设某元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}, 0, t \geq 0 其他

，其中

θ, m

为参数且大于零。

(1) 求概率 $P {T > t}$ 与 $P {T > s + t ∣ T > s}$ ，其中 $s > 0, t > 0$ ；
(2) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ ，若 $m$ 已知，求 $θ$ 的最大似然估计值 $θ^$ 。

答案

第 1 问

$P (T > t) = e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}$ ， $P (T > s + t ∣ T > s) = e^{- \frac{(( s + t ) ^{m} - s ^{m} )}{θ ^{m}}}$ 。

第 2 问

$θ = (\frac{1}{n} i = 1 \sum n t_{i}^{m})^{\frac{1}{m}}$ 。

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第 1 问

由分布函数， $P (T > t) = 1 - F (t) = e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}$ 。因 $s, t > 0$ ，事件 ${T > s + t}$ 包含于 ${T > s}$ ，所以

P (T > s + t ∣ T > s) = \frac{P ( T > s + t )}{P ( T > s )} = exp (- \frac{( s + t ) ^{m} - s ^{m}}{θ ^{m}}) .

当 $m = 1$ 时，此条件概率等于 $P (T > t)$ ，即指数分布的无记忆性。

第 2 问

对 $t > 0$ ，密度为 $f (t) = m θ^{- m} t^{m - 1} e^{- \frac{t ^{m}}{θ ^{m}}}$ 。记 $A = \sum t_{i}^{m}$ ，对几乎必然为正的寿命观测值，

L (θ) = m^{n} θ^{- mn} (\prod_{i = 1}^{n} t_{i}^{m - 1}) e^{- \frac{A}{θ ^{m}}} .

取对数并求导：

ℓ (θ) ℓ^{'} (θ) = n ln m - mn ln θ + (m - 1) i = 1 \sum n ln t_{i} - \frac{A}{θ ^{m}}, = \frac{m}{θ ^{m + 1}} (A - n θ^{m}) .

由于 $m > 0$ ，导数在 $(\frac{A}{n})^{\frac{1}{m}}$ 左侧为正、右侧为负，故该点为唯一最大值点，得到所求估计值。

令 $Y = T^{m}$ ，对 $y \geq 0$ 有 $P (Y \leq y) = 1 - e^{- \frac{y}{θ ^{m}}}$ ，故 $Y$ 是均值为 $λ = θ^{m}$ 的指数变量。其样本似然为 $λ^{- n} e^{- \sum \frac{t _{i}^{m}}{λ}}$ ，求导可得 $λ = \sum \frac{t _{i}^{m}}{n}$ 。利用 $θ = λ^{\frac{1}{m}}$ 的一一对应，得到 $θ = (\sum \frac{t _{i}^{m}}{n})^{\frac{1}{m}}$ 。