1998 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

一商店经销某种商品，每周进货数量

X

与顾客需求量

Y

是相互独立的随机变量，且都服从区间

[10, 20]

上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润

1000

元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，此时每单位商品获利润

500

元。计算该商店每周所得利润的期望值。

答案

$\frac{42500}{3}$ 元

记 $u_{+} = max (u, 0)$ 。若把需求量 $Y$ 全部按每单位 $1000$ 元计，收益为 $1000 Y$ 。仅当 $Y > X$ 时，超出进货量的 $Y - X$ 单位实际每单位少获利 $500$ 元，故利润 $L = 1000 Y - 500 (Y - X)_{+}$ 。

有 $E (Y) = 15$ 。由 $X, Y$ 独立且均匀分布于 $[10, 20]$ ，联合密度为 $\frac{1}{100}$ 。利用对称性，

E ∣ Y - X ∣ = \frac{2}{100} \int_{10}^{20} \int_{x}^{20} (y - x) d y d x = \frac{1}{100} \int_{10}^{20} (20 - x)^{2} d x = \frac{10}{3} .

因此 $E (Y - X)_{+} = \frac{1}{2} E ∣ Y - X ∣ = \frac{5}{3}$ 。

所以 $E (L) = 1000 \times 15 - 500 \times \frac{5}{3} = \frac{42500}{3}$ 元。