（1）特征方程为 $r^2-{\lambda }^2=0$。由于 $\lambda >0$，$\lambda$ 与 $-\lambda$ 是两个相异单根。由叠加原理，分别对右端两项求特解再相加。两个指数均对应单特征根，因此分别设 $y_1^{\ast }=ax{\mathrm{e}}^{\lambda x}$、$y_2^{\ast }=bx{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$，得到选项 C 的形式

（2）确定系数并验证。对 $y=ax{\mathrm{e}}^{\lambda x}$，有 $y^{\prime }=a(1+\lambda x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$、$y^{\prime \prime }=a(2\lambda +{\lambda }^{2}x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$，因此 $y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y=2\lambda a{\mathrm{e}}^{\lambda x}$。同理，另一项的结果为 $-2\lambda b{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$。比较两种指数的系数，得 $2\lambda a=1$、$-2\lambda b=1$，所以

（3）排除其余选项。A 本身是齐次解，代入左端为零。B 强制 $a=b$，与上面必需的非零相反系数矛盾。D 中 $a{x}^2{\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 代入左端为 $a(2+4\lambda x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$，要消去多余的 $x{\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 项只能令 $a=0$，此时无法产生右端的 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 项。因此只有 C 符合。