若存在 $c\in (a,b)$ 使 $g(c)=0$，则由 $g(a)=g(c)=0$ 和 $g(c)=g(b)=0$，分别在 $(a,c)$、$(c,b)$ 内存在 $u,v$，使 $g^{\prime }(u)=g^{\prime }(v)=0$。

再对 $g^{\prime }$ 在 $[u,v]$ 上应用罗尔定理，存在 $\eta \in (u,v)\subset (a,b)$ 使 $g^{\prime \prime }(\eta )=0$，与已知 $g^{\prime \prime }(x)\ne 0$ 矛盾。因此 $g(x)\ne 0$ 对所有 $x\in (a,b)$ 成立。

定义 $H(x)=f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)$。由端点条件可知 $H(a)=H(b)=0$。

由罗尔定理，至少存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $H^{\prime }(\xi )=0$。而

由第（1）问 $g(\xi )\ne 0$，且题设 $g^{\prime \prime }(\xi )\ne 0$，故 $H^{\prime }(\xi )=0$ 等价于