设

则 $g^{\prime }(x)=x^{p-1}-1$。

因为 $p>1$，所以当 $0<x<1$ 时 $g^{\prime }(x)<0$，当 $x>1$ 时 $g^{\prime }(x)>0$。故 $g$ 在 $x=1$ 处取得最小值。

由 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，有

因而对任意 $x>0$，$g(x)\ge 0$，即

等号当且仅当 $x=1$ 时成立。