2005 · 数学三 · 第 14 题 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为

λ (λ > 1)

的指数分布，记

Φ (x)

为标准正态分布函数，则（　　）。

A
$n \to \infty lim P {\frac{i = 1 \sum n X _{i} - nλ}{λ n} \leq x} = Φ (x)$
B
$n \to \infty lim P {\frac{i = 1 \sum n X _{i} - nλ}{nλ} \leq x} = Φ (x)$
C
$n \to \infty lim P {\frac{λ i = 1 \sum n X _{i} - n}{n} \leq x} = Φ (x)$
正确答案
D
$n \to \infty lim P {\frac{i = 1 \sum n X _{i} - λ}{nλ} \leq x} = Φ (x)$

答案

按指数分布参数为率参数的通常约定， $E (X_{i}) = \frac{1}{λ}$ ， $D (X_{i}) = \frac{1}{λ ^{2}}$ 。

令 $S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}$ 。由中心极限定理，

\frac{S _{n} - \frac{n}{λ}}{\frac{n}{λ}} = \frac{λ S _{n} - n}{n} d N (0, 1) .

因此对任意 $x$ ，

n \to \infty lim P ⎩ ⎨ ⎧ \frac{λ i = 1 \sum n X _{i} - n}{n} \leq x ⎭ ⎬ ⎫ = Φ (x),

正确选项为 C。