在 $0\le \theta \le \pi$ 上，$1+\cos \theta \ge 0$，曲线从 $(2,0)$ 经上半平面回到原点，与极轴围成上半心形区域。因此积分限为 $0\le \theta \le \pi$，$0\le r\le 1+\cos \theta$。
由 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$\mathrm{d}\sigma =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，得到

令 $u=\cos \theta$，则 $\mathrm{d}u=-\sin \theta \mathrm{d}\theta$，$\theta =0,\pi$ 对应 $u=1,-1$。再令 $v=1+u$，得

题目只取上半支，区域不关于 $x$ 轴对称，不能因 $xy$ 关于 $y$ 为奇函数就判积分为零。