令 $x={\sin }^{2}t$。由于 $0<x<1$，取 $t=\arcsin \sqrt{x}\in (0,\frac{\pi }{2})$，由题设得 $f(x)=\frac{t}{\sin t}$，且 $\mathrm{d}x=2\sin t\cos t\mathrm{d}t$。

代回 $\sin t=\sqrt{x}$、$\cos t=\sqrt{1-x}$、$t=\arcsin \sqrt{x}$，得 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x=2\sqrt{x}-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+C$。