2000 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

假设

0.50, 1.25, 0.80, 2.00

是来自总体

X

的简单随机样本值。已知

Y = ln X

服从正态分布

N (μ, 1)

，记

b = E (X)

。

答案

$b = E (X) = e^{μ + \frac{1}{2}}$

$[- 0.98, 0.98]$

$[e^{- 0.48}, e^{1.48}]$ ，约为 $[0.619, 4.393]$

因为 $X = e^{Y}$ 且 $Y \sim N (μ, 1)$ ，所以 $b = E (e^{Y}) = e^{μ + \frac{1}{2}}$ 。

变换后的样本为 $ln 0.50, ln 1.25, ln 0.80, ln 2.00$ ，其和为 $0$ ，故 $Y ˉ = 0$ 。已知方差为 $1$ ，样本量 $n = 4$ 。

记 $z_{0.975}$ 为标准正态分布的 $0.975$ 分位数， $z_{0.975} \approx 1.96$ 。置信度 $0.95$ 的区间为

Y ˉ \pm z_{0.975} \frac{1}{n} \approx 0 \pm \frac{1.96}{2},

近似为 $[- 0.98, 0.98]$ 。

由第一问可知， $b = e^{μ + \frac{1}{2}}$ 关于 $μ$ 严格递增，将上一问区间的两个端点作该变换，得到

b \in [e^{- 0.98 + 0.5}, e^{0.98 + 0.5}] = [e^{- 0.48}, e^{1.48}],

约为 $[0.619, 4.393]$ 。