当 $a=0$ 或 $a=-10$ 时线性相关。

当 $a=0$ 时取 $\{{\alpha }_1\}$，并有 ${\alpha }_2=2{\alpha }_1,{\alpha }_3=3{\alpha }_1,{\alpha }_4=4{\alpha }_1$；当 $a=-10$ 时取 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$，并有 ${\alpha }_4=-{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3$。

记 $I$ 为四阶单位矩阵。令 $e=(1,1,1,1{)}^T$、$r=(1,2,3,4{)}^T$，则以四个向量为列的矩阵为 $M=aI+e{r}^T$。

当 $a\ne 0$ 时，$\det M=a^4\left(1+\frac{r^{T}e}{a}\right)=a^3(a+10)$。两边都是关于 $a$ 的多项式，故该恒等式对 $a=0$ 也成立。

四个四维向量线性相关当且仅当 $\det M=0$，因此所求参数为 $a=0$ 或 $a=-10$。

沿用第一问的向量 $e$。当 $a=0$ 时，${\alpha }_i=ie$，且 ${\alpha }_1=e\ne 0$。因此 $\{{\alpha }_1\}$ 是极大线性无关组，其余向量满足 ${\alpha }_2=2{\alpha }_1$、${\alpha }_3=3{\alpha }_1$、${\alpha }_4=4{\alpha }_1$。

当 $a=-10$ 时，直接相加可得 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=0$，所以 ${\alpha }_4=-{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3$。

为验证前三个向量线性无关，设 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\alpha }_3=0$，并令 $s=c_1+2c_2+3c_3$。第四个分量给出 $s=0$，前三个分量依次给出 $s-10c_i=0$（$i=1,2,3$），因而 $c_1=c_2=c_3=0$。

故 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 线性无关，并能表示全部四个向量，是极大线性无关组；向量组的秩为 $3$。