1998 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

已知线性方程组①

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1, 2 n} x_{2 n} = 0 a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2, 2 n} x_{2 n} = 0 ⋮ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n, 2 n} x_{2 n} = 0

的一个基础解系为

(b_{11}, b_{12}, \dots, b_{1, 2 n})^{T}, (b_{21}, b_{22}, \dots, b_{2, 2 n})^{T}, \dots, (b_{n 1}, b_{n 2}, \dots, b_{n, 2 n})^{T}

。试写出线性方程组②

⎩ ⎨ ⎧ b_{11} y_{1} + b_{12} y_{2} + \dots + b_{1, 2 n} y_{2 n} = 0 b_{21} y_{1} + b_{22} y_{2} + \dots + b_{2, 2 n} y_{2 n} = 0 ⋮ b_{n 1} y_{1} + b_{n 2} y_{2} + \dots + b_{n, 2 n} y_{2 n} = 0

的通解，并说明理由。

答案

$y_{1} y_{2} ⋮ y_{2 n} = i = 1 \sum n c_{i} a_{i 1} a_{i 2} ⋮ a_{i, 2 n}$ ，其中各 $c_{i}$ 为任意常数。

记方程组①的系数矩阵为 $A$ ，以给出的基础解系为行构成矩阵 $B$ ，则方程组②为 $B y = 0$ 。因每个基础解向量都属于 $ker A$ ，有 $A B^{T} = 0$ ，故 $A$ 的每个行向量转置后都是方程组②的解。

方程组①有 $n$ 个基础解向量，而未知数有 $2 n$ 个，所以 $rank A = n$ ，其 $n$ 个行向量线性无关。另一方面， $B$ 的 $n$ 个行向量正是基础解系，亦线性无关，故 $rank B = n$ ，方程组②的解空间维数为 $2 n - n = n$ 。

因此 $A$ 的 $n$ 个行向量转置后恰构成方程组②的基础解系，通解为

y = i = 1 \sum n c_{i} (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i, 2 n})^{T}, c_{i} \in R .