从基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 的过渡矩阵 $P$ 满足 $({\beta }_1,{\beta }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)P$，因此各列应为新基向量在旧基下的坐标。

由 ${\alpha }_1=(1,0{)}^T$、${\alpha }_2=(1,-1{)}^T$，可得 ${\beta }_1=2{\alpha }_1-{\alpha }_2$，${\beta }_2=3{\alpha }_1-2{\alpha }_2$。

所以所求过渡矩阵为

相应的坐标关系为 $[v{]}_{\alpha }=P[v{]}_{\beta }$。