（1）确定取值范围。由 $-\frac{\pi }{2}\le x_n\le \frac{\pi }{2}$ 得 $\sin x_n\in [-1,1]$、$\cos x_n\in [0,1]$。能否由复合数列的收敛性反推内层数列收敛，要检查外层函数在实际取值范围上的可逆性，以及极限点处反函数的连续性。
（2）否定 A、B。取 $x_n=(-1{)}^n$，满足题设范围，奇偶子列极限分别为 $-1$、$1$，所以原数列发散。但由余弦的偶性与正弦的奇性，

两者均为常数列，因此 A、B 的前提成立而结论不成立。
（3）否定 C。$\cos t$ 在 $[-1,1]$ 上不单调，不能唯一反解。取 $x_n=(-1{)}^n\frac{\pi }{2}$，则 $\sin x_n=(-1{)}^n$ 发散，而 $\cos (\sin x_n)=\cos 1$ 收敛，故 C 不正确。
（4）证明 D。设 $\sin (\cos x_n)\to L$，记 $t_n=\cos x_n\in [0,1]$。$\sin t$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格递增，且 $\sin t_n\in [0,\sin 1]$，所以 $L\in [0,\sin 1]$。反函数 $\arcsin$ 在该闭区间连续，故

于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n$ 存在。而 $x_n=(-1{)}^n$ 已说明 $x_n$ 的极限不一定存在，故 D 的两项结论均成立，选 D。