由约束 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$，令 $z$ 保留为变量，则 $x+y=4-z$，且

实数 $x,y$ 存在的充要条件为 $(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$，所以

即 $2\le z\le 8$。

函数 $z^2+z$ 在 $[2,8]$ 上递增，故最小值为 $2^2+2=6$，最大值为 $8^2+8=72$。端点分别由 $(x,y,z)=(1,1,2)$ 和 $(-2,-2,8)$ 取得。