2003 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设某商品从时刻

0

到时刻

t

的销售量为

x (t) = k t

，

t \in [0, T], k > 0

。欲在

T

时将数量为

A

的该商品销售完，试求：

答案

$A - k t$ ， $k = \frac{A}{T}$

$\frac{A}{2}$

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$x (t) = k t$ 是从时刻 0 到时刻 $t$ 的累计销售量，所以 $t$ 时刻剩余量为 $R (t) = A - k t$ 。

T 时刻恰好售完给出 $x (T) = k T = A$ ，故 $k = \frac{A}{T}$ 。

将第一问的 $k = \frac{A}{T}$ 代入剩余量 $R (t) = A - k t$ ，得 $R (t) = A - \frac{A}{T} t$ 。

时间段 $[0, T]$ 上的平均剩余量为

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} R (t) d t = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (A - \frac{A}{T} t) d t = \frac{A}{2} .