1993 · 数学一 · 第 6 题 · 选择题

设

f (x) = \int_{0}^{s i n x} sin (t^{2}) d t

，

g (x) = x^{3} + x^{4}

，则当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的（　　）。

答案

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当 $t \to 0$ 时， $sin (t^{2}) \sim t^{2}$ ，且 $sin x \sim x$ ，故

f (x) = \int_{0}^{s i n x} sin (t^{2}) d t \sim \frac{( sin x ) ^{3}}{3} \sim \frac{x ^{3}}{3}

。

同时 $g (x) = x^{3} (1 + x) \sim x^{3}$ ，所以 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{1}{3}$ 。该极限为非零常数但不等于 1，故二者同阶但非等价，选 B。