条件 $A_{ij}=a_{ij}$ 表明余子式矩阵就是 $A$，因而伴随矩阵为 $\mathrm{adj}(A)=A^{\mathsf{T}}$。由 $A\mathrm{adj}(A)=|A|E$ 得

记 $d=|A|$。两边取行列式，得到

故 $d=0$ 或 $d=1$。

若 $d=0$，则 $A{A}^{\mathsf{T}}=O$。因为 $A$ 为实矩阵，$A{A}^{\mathsf{T}}$ 的第一个对角元为 $a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2$，只能为零，从而 $a_{11}=0$，与已知矛盾。因此 $d\ne 0$，只能有 $|A|=1$。