由两条切线分别经过 $(0,0),(2,4)$ 和 $(3,2),(2,4)$，得 $f(0)=0$、$f(3)=2$、$f^{\prime }(0)=2$、$f^{\prime }(3)=-2$。拐点处且 $f$ 的二阶导数连续，故 $f^{\prime \prime }(3)=0$。

令 $g(x)=x^2+x$。两次分部积分得 $I=[g{f}^{\prime \prime }{]}_0^3-[g^{\prime }{f}^{\prime }{]}_0^3+{\int }_0^3{g}^{\prime \prime }{f}^{\prime }\mathrm{d}x$。

代入 $g(3)=12$、$g^{\prime }(x)=2x+1$、$g^{\prime \prime }=2$，有 $I=0-(7(-2)-1\cdot 2)+2(2-0)=16+4=20$。