1993 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设二阶常系数线性微分方程

y^{''} + α y^{'} + β y = γ e^{x}

的一个特解为

y = e^{2 x} + (1 + x) e^{x}

。

答案

$α = - 3, β = 2, γ = - 1$

$y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + x e^{x}$

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记微分算子为 $L [y] = y^{''} + α y^{'} + β y$ 。对 $e^{2 x}$ 项比较系数，得

4 + 2 α + β = 0.

对 $(1 + x) e^{x}$ 求导并代入，有

L [(1 + x) e^{x}] = [(3 + 2 α + β) + (1 + α + β) x] e^{x} .

因此

1 + α + β = 0, γ = 3 + 2 α + β .

联立解得 $α = - 3$ ， $β = 2$ ， $γ = - 1$ 。

代入第一问求得的参数，方程为 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = - e^{x}$ 。对应齐次方程的特征方程

λ^{2} - 3 λ + 2 = 0

的根为 $1, 2$ ，故齐次通解为 $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ 。

沿用第一问的微分算子 $L [y] = y^{''} - 3 y^{'} + 2 y$ 。由于右端 $e^{x}$ 与特征根 $1$ 共振，取特解 $y_{p} = A x e^{x}$ 。代入得 $L [y_{p}] = - A e^{x}$ ，故 $A = 1$ 。

所以通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + x e^{x} .