1995 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

周期为 $4$ 的余弦级数在 $[0, 2]$ 上写为

f (x) a_{n} \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} cos \frac{nπ x}{2}, = \int_{0}^{2} (x - 1) cos \frac{nπ x}{2} d x .

计算得 $a_{0} = 0$ ，且

a_{n} = \frac{4 [( - 1 ) ^{n} - 1 ]}{n ^{2} π ^{2}} = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{8}{n ^{2} π ^{2}}, 0, n 为奇数, n 为偶数 .

故

x - 1 = - \frac{8}{π ^{2}} k = 0 \sum \infty \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} cos \frac{( 2 k + 1 ) π x}{2}, 0 \leq x \leq 2.

偶延拓在 $0, 2$ 两端均连续，所以端点处也取原函数值。

答案