抛物线过原点，故 $c=0$，且 $y=a{x}^2+bx=x(ax+b)$。面积条件给出 ${\int }_0^1(a{x}^2+bx)\mathrm{d}x=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{1}{3}$，即 $2a+3b=2$，所以 $b=\frac{2(1-a)}{3}$。

由 $y\ge 0$ 及 $0\le x\le 1$，须有线性函数 $ax+b$ 在该区间非负，即 $b\ge 0$、$a+b\ge 0$。代入约束得 $-2\le a\le 1$。

旋转体体积为 $V=\pi {\int }_0^1(a{x}^2+bx{)}^2\mathrm{d}x=\pi (\frac{a^2}{5}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{3})$。代入 $b=\frac{2(1-a)}{3}$，得 $V=\frac{\pi }{135}(2a^2+5a+20)$。

该二次函数在 $a=-\frac{5}{4}$ 处取最小值，且 $-\frac{5}{4}\in [-2,1]$。于是 $b=\frac{3}{2}$、$c=0$，并有 $V_{\min }=\frac{\pi }{8}$。