在 $x=1$ 附近令 $q(x)=x^2+x+1>0$，则 $|x^3-1|=|x-1|q(x)$，且 $f(1)=0$。

差商为 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{|x-1|}{x-1}q(x)\varphi (x)$。右极限为 $3\varphi (1)$，左极限为 $-3\varphi (1)$。

两侧相等当且仅当 $\varphi (1)=0$。因此该条件是充分必要条件，选 A。