1989 · 数学三 · 第 3 题 · 填空题

依次作 $R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1}$ 、 $R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1}$ 、 $R_{4} \leftarrow R_{4} - R_{1}$ ，后三行分别为 $x (0, 0, 1, - 1)$ 、 $x (0, 1, 0, - 1)$ 、 $x (1, 0, 0, - 1)$ ，故原行列式等于 $x^{3}$ 乘以相应行列式。即

D = x^{3} 1001 - 1 010 1100 x - 1 - 1 - 1 - 1 .

这里 $D$ 表示原行列式。

在右侧四阶行列式内作 $R_{1} \leftarrow R_{1} - R_{4}$ ，再按第一列展开，得

D = - x^{3} - 1 01 110 x - 1 - 1 = - x^{3} (1 - 1 - x) = x^{4} .

答案