在 $[0,\pi ]$ 上，

$$\sqrt{1-\sin x}=\left|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right|.$$

绝对值内的式子在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处变号。

因此

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x\\ & +{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x\\ & =4(\sqrt{2}-1).\end{array}$$