两曲线交于 $x=0$ 与 $x=a$。若 $a\le 0$，则由右侧闭合区域可得 $S_2={\int }_0^1(x^2-ax)dx=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}\ge \frac{1}{3}$，且 $S_1\ge 0$，所以此范围不可能取得后面得到的小于 $\frac{1}{3}$ 的最小值。故只需考察 $0<a<1$。

当 $0<a<1$ 时，

因此

有 $F^{\prime }(a)=a^2-\frac{1}{2}$。在 $(0,1)$ 上，$F$ 先减后增，故唯一极小点为 $a=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。代入得

结合 $a\le 0$ 的比较，这也是题设 $a<1$ 范围内的最小值。

由第一问，面积最小时 $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$。对应的平面图形在 $[0,a]$ 上以直线为上边界、在 $[a,1]$ 上以抛物线为上边界。绕 $x$ 轴旋转，用垫片法得

积分化简为

代入 $a^2=\frac{1}{2}$、$a^5=\frac{\sqrt{2}}{8}$，得到