区域$D$为$0\le r\le \sqrt{\pi }$，故$I={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{\pi }}{e}^{\pi -r^2}\sin (r^2)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。

令$t=r^2$，得到$I=\pi e^{\pi }{\int }_0^{\pi }{e}^{-t}\sin t\mathrm{d}t$。

${\int }_0^{\pi }{e}^{-t}\sin t\mathrm{d}t=\frac{1+e^{-\pi }}{2}$，所以$I=\frac{\pi }{2}(e^{\pi }+1)$。