1994 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

已知曲线

y = a x

（

a > 0

）与曲线

y = ln x

在点

(x_{0}, y_{0})

处有公共切线。

答案

$a = \frac{1}{e}$

$(x_{0}, y_{0}) = (e^{2}, 1)$

$V_{x} = \frac{π}{2}$

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在公共切点处，两曲线的函数值与导数分别相等：

a x_{0} = \frac{1}{2} ln x_{0}, \frac{a}{2 x _{0}} = \frac{1}{2 x _{0}} .

由导数相等得 $a = \frac{1}{x _{0}}$ 。代回函数值等式，得到 $1 = \frac{1}{2} ln x_{0}$ ，故 $x_{0} = e^{2}$ ，进而

a = \frac{1}{e} .

由上一问已有 $x_{0} = e^{2}$ 。代入任一曲线可得

y_{0} = \frac{1}{e} e^{2} = 1.

因此公共切点为 $(e^{2}, 1)$ 。

由前两问求得的参数及切点，曲线 $y = \frac{1}{e} x$ 在 $x = 0$ 与 $x$ 轴相交，曲线 $y = \frac{1}{2} ln x$ 在 $x = 1$ 与 $x$ 轴相交，两曲线在 $x = e^{2}$ 相切。绕 $x$ 轴旋转所得体积为

V_{x} = π \int_{0}^{1} \frac{x}{e ^{2}} d x + π \int_{1}^{e^{2}} [\frac{x}{e ^{2}} - \frac{1}{4} (ln x)^{2}] d x .

合并第一项后，

V_{x} = π [\int_{0}^{e^{2}} \frac{x}{e ^{2}} d x - \frac{1}{4} \int_{1}^{e^{2}} (ln x)^{2} d x] .

又 $\int (ln x)^{2} d x = x [(ln x)^{2} - 2 ln x + 2]$ ，故括号内等于 $\frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2} - 1}{2} = \frac{1}{2}$ ，所以 $V_{x} = \frac{π}{2}$ 。