按行列式定义，每一项是取自不同行、不同列的四个元素之积，并乘相应置换的符号。含 $x$ 的位置只有 $(1,1)$、$(1,2)$、$(1,4)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$。因此三次项必须恰有三行选含 $x$ 的元素，剩下一行选常数，按这行的位置分类。

（1）第一行取常数。只能取 $(1,3)$ 元 $1$，占用第三列后，第三行不能取唯一含 $x$ 的 $(3,3)$ 元，至少产生两个常数因子，不可能形成三次项。

（2）第二行取常数。第三、四行必须取 $(3,3)$、$(4,4)$ 元，第一行只能取 $(1,2)$ 元，第二行随之取 $(2,1)$ 元。列指标排列为 $(2,1,3,4)$，是一次对换，符号为负，对应项为 $-x\cdot 1\cdot x\cdot x=-x^3$。

（3）第三行取常数。第二、四行必须取 $(2,2)$、$(4,4)$ 元，第一行只能取 $(1,1)$ 元，留给第三行的是第三列，而该元为 $x$，与取常数矛盾，故无此类项。

（4）第四行取常数。第二、三行必须取 $(2,2)$、$(3,3)$ 元。若第一行取 $(1,1)$ 元，则第四行只能取 $(4,4)$ 元 $x$，不符合条件；故第一行取 $(1,4)$ 元 $2x$，第四行取 $(4,1)$ 元 $2$。列指标排列为 $(4,2,3,1)$，对应交换指标 $1,4$，符号为负，因此该项为 $-2x\cdot x\cdot x\cdot 2=-4x^3$。

四种情形已穷尽，三次项仅为 $-x^3-4x^3=-5x^3$，故系数为 $-5$。