令 $w=xy+\sin (x+y)$，则 $z=\arctan w$。在 $(0,\pi )$ 处，$w=0\cdot \pi +\sin \pi =0$，故外层导数 $\frac{1}{(1+w^2)}=1$。
先求内层偏导：$w_x=y+\cos (x+y)$、$w_y=x+\cos (x+y)$。因为 $\cos \pi =-1$，所以 $w_x(0,\pi )=\pi -1$、$w_y(0,\pi )=-1$。
由微分的链式法则 $\mathrm{d}z=\frac{\mathrm{d}w}{(1+w^2)}$，得到

外层导数因子在该点恰为 $1$，须先计算 $w(0,\pi )=0$ 才能化简，不能一般性地遗漏它。