1990 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

求函数

I (x) = \int_{e}^{x} \frac{ln t}{t ^{2} - 2 t + 1} d t

在区间

[e, e^{2}]

上的最大值。

答案

$\frac{1}{e + 1} + ln (1 + e^{- 1})$

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在 $[e, e^{2}]$ 上，

I^{'} (x) = \frac{ln x}{( x - 1 ) ^{2}} > 0,

故 $I$ 严格递增，最大值在 $x = e^{2}$ 处取得。

分部积分得一个原函数

\int \frac{ln t}{( t - 1 ) ^{2}} d t = - \frac{ln t}{t - 1} + ln \frac{t - 1}{t} .

于是

I (e^{2}) = \frac{1}{e - 1} - \frac{2}{e ^{2} - 1} + ln \frac{e ^{2} - 1}{e ( e - 1 )} = \frac{1}{e + 1} + ln (1 + e^{- 1}) .